Ch5-2 Binomial Distribution 二項分布

知り合いが7人兄妹なのですが、なんと女の子は一人だけで、他は男6人という兄妹構成だそうです。
さて、これはどれくらい珍しいことなのでしょうか?(7人子どもがいるというだけですでに珍しいことかもですが)
7人子どもができて、そのうちたった一人だけが女の子の確率は一体どれくらいなのでしょうか。
Binomial Probability・Excel Functionが分かれば簡単に求められます

Binomial Distribution 二項分布 とは

N回の試行回数のうちX回が成功するというようなBinomial Experimentの確率を求めるときに使われます。
Excel Function: Binomial Probability Distribution
=BINOM.DIST (number_s, Trials, Probability_S, Cumulate)
Excel の関数では=BINOM.DIST()を使い、
number_s,はDiscrete Random Variable:成功の回数を
Trialsは試行回数N回を
Probability_S, は成功する確率を
Cumulateは成功回数がちょうどX回か、X回以下の成功回数
かを指定します。

7人子どもがいて一人だけが女の子の確率は?

先の例をExcelの関数を使ってもとめてみましょう。
女の子が生まれることを成功:Successと定義します。
number_sは1
Trialsは子どもの数なので7回です。
Probability_sはSuccessの確率なので50%です。(女の子が生まれてくる確率は50%とみなします。)
Cumulateはちょうど女の子が一人だけの時の確率がほしいので0
(1と入力すると一人かそれ以下のときの累積した確率になります。)
と入力します。
=BINOM.DIST(1,7,50%,0) = 0.0546875
とたった約5%の確率であることがわかります。

Binomial Experiment である条件条件

先のようなBinomialの計算を使うにはいくつかの条件をチェックする必要があります。

1試行回数が決まった回数であること。

これは勝手に7回8回とか増やしてはいけませんということです。
先の例では”7人の子どものうち”という条件がありました。

2試行の結果が成功かSuccessか失敗Failureの二択であること。(yes or no)

結果が3つ以上のものではなく必ず二択であることです。
先の例だと女の子か”女の子でない”かを見ました。
Binomial の Bi-は2つという意味です。

3成功の確率が一定で変わらないこと。

毎回毎回の試行回数が同じ成功確率で変わらないことです。
先の例だと、1人目の子どもであろうが2人目の子どもであろうが女の子である確率は一定です。ずっと50%。
もし、初産の子どもは特別女の子が生まれやすいとかであれば条件を満たさず、Binomial Distributionは使えません。

4すべての試行は互いに独立していること。

試行が互いの成功率に影響し合うことがないことが条件です。
先の例だと、例えば一人目が女の子であれば次は男の子が生まれやすいとか影響があればBinomial Distributionは使えません。

Binomial DistributionのExpected Value期待値

Binomial Distributionの期待値はMeanと同じ値になり下記のような数式で求めます。

nは試行回数でpは成功確率です。

Binomial DistributionのStandard Deviation標準偏差

Binomial DistributionのStandard Deviationは下記のような数式で求めます。

nは試行回数でpは成功確率です。

Binomial Distribution 使い方例

あなたはとある全20問の◯か☓で応えるクイズを受けたとします。
もし、答えを考えることなく無作為につけて行って15問以上正解する確率はいくつでしょうか?

Binomial Experimentかどうかをチェック

  1. 試行回数が決まった数か?Yes. 全部で20問
  2. 結果が2択であるか?Yes, ◯か☓かの二択
  3. 成功の確率が一定か?Yes, (このテストでは◯の正解が多いとか偏りがないものとする。)
  4. 試行は互いに独立しているか?Yes. (このテストの問題はそれぞれ独立しているものとする。

Excelの関数を使って計算

Excelの関数を使って15問以上正解する確率を求めたいのですが、実は”15問以上”というのは直接Excelの関数では求められません。15問ちょうど正解や15問以下の正解は求められるのですが。。
15問ちょうどのときは=BINOM.DIST(15,20,50%,0)
15問以下のときは=BINOM.DIST(15,20,50%,1)
いろいろと方法はありますが、Excelで表を作るとわかりやすいです。
まず成功回数の列を作ります。その横に成功確率の列をつくり
=BINOM.DIST(Aの列,20,50%,0)と入力し残りの欄にもコピーします。

求めたいのは15問以上なので15問より上の回数を全部足したらよいわけです。

正解は、
15問以上成功する確率は約2.07%であることがわかりました。
図表で表すとこのような感じになります。

このように一度表にすると他の確率を知りたい時にも便利です。

7問から10問成功する確率は?

全20問中7問から10問正解する確率はいくつでしょうか?
成功回数が7回から10回の成功率を足します。

正解は約53%です。

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