Ch5-4 Poisson Distribution

Poisson Distribution

Binomial Distribution ではN回の試行のうち何回Success成功するか見てきました。
例えばコインを3回投げて2回表がでる確率は?など。
Poisson Distributionでは特定の時間・距離・長さの間に何回成功するかを見ていきます。
Poisson Distribution は以下のような確率を推測するのに適しています。

例1:時間のインターバル:ある特定の時間ごとにどのくらいの人が来るか?

過去のデータから、日曜のランチタイム時1分間に平均3.4人(Mean)のお客さんが来ることがわかりました。
その情報をもとに日曜のライチタイム時1分間に2人お客さんが来る確率を求めています。
Excel Function: Poisson Distribution
=POISSON.DIST(x,mean,cumulative)
Excelの関数ではPOISSON.DISTを使い、求めたい成功の回数、Mean, 累積した確率かどうかを指定します。
2人ちょうどお客さんが来る確率は?
X:求めたい成功の回数:2
Mean:平均の数:3.4
Cumulative:ちょうど二人来るときの確率なので0
=POISSON.DIST(2,3.4,0)=約19.29%1~4人のお客さんが来る確率は?
Poisson Distribution を表にしてみます。
表ができたら1人~4人の確率のところを合計します。

答えは約71.08%です。

例2:距離のインターバル:ある特定の距離の間にどのくらいのある事おこるか?

過去のデータから、あるエリアにて電線の不具合が、100kmの間に平均で5回ある事がわかりました。
その情報をもとに、100kmの間に6回以上不具合が起こる可能性を推測してみます。
Excelの関数=POISSON.DISTを使います。
X:求めたい成功の回数: 6回
Mean:平均の数:5回
Cumulative: ちょうどX回のときは0, X回以下の時は1と入力すれば良いのですが、今回は6回以上です。
Excelの関数では”~以上”という指定はできないので一工夫必要になります。
まずは図表を作ってみます。

6回不具合の確率は約14.62%で、7回は約10.44%、8回は約6.53%と次第に減っていきますが、厳密にいうと0%に達することはありません。
ただし、全部の確率を合計すると100%になることはわかっています。
ではそのことを利用すると100%から”5回以下”のときの確率を引けばの6回以上の確率がわかるということです。
式で表すとこうなります。
6回以上の確率=100% -POISSON.DIST (5,5,1)=約38.4%

このようにExcelの関数ではちょうどX回もしくはX回以下などでしか指定できないため。
今後も100%(全体)から引く、大きい方から小さい方を引くなどの計算式の工夫はよく使われます。

Poisson Experiment の条件・特徴

Poisson Distributionは上記で紹介したようなPoisson Experimentで使えます。
ただし、Poisson DistributionであるためにはBinomial Experimentでも確認したような条件があります。

1成功の確率が一定のインターバルごとで同じであること。

例えば先の例で特定の距離の間では特に不具合が起こりやすいという場合は条件を満たしません。

2成功の確率が他のインターバルの影響をうけない、独立した確率であること。

例えば、もしある区間Aで起きた不具合が原因で区間Bの不具合を誘発させるなどという場合は条件に満たしません。

3 成功の確率がインターバルのサイズに比例すること。

例えば先の例で、100kmで平均5回であれば、200kmでは平均10回、300kmでは平均15回と比例していること。

4 MeanがVarianceとほぼおなじ

Poisson ExperimentではMeanとVarianceがほぼおなじになります。

5過去のデータより出したRelative Frequency DistributionがPoisson Distributionの形をしている。

過去のデータを使いRelative Frequency Distributionを作成したときPoisson Distributionの形Bell shape distributionに当てはまること。
過去に起きた実際のデータから作ったRelative Frequency Distribution

過去のデータを使い、Poisson Distributionにあてはめたときの図表
Discrete Random Variable= 1分間に何人の来店があるか?

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