データの範囲どのくらいのデータが含まれているか？

Z-Score はとあるデータが Mean からどのくらい離れているかを教えてくれました。ここのセクションでは、どのくらいデータの数が Standard Deviation (何 z) 内に含まれているか知る方法を紹介します。

CHEBYSHEV’S THEOREM チェビシェフの定理

チェビシェフは確率論・統計学の分野で貢献したロシアの数学者です。

チェビシェフの定理は

どのような形の分布のデータセットでも Mean からの距離が+/-Z Standard Deviation の間には少なくとも全体の(1-1/z^2)のデータがある。

chebyshev'theorem

例えば、あなたはとある A 町の単身者向けの賃貸マンションの値段を調べたとします。

でした。あなたは賃貸マンションの家賃の相場がどのくらいかを知りたいとします。 Chebyshev’s Theorem によると

Mean からの距離が-２から+2 Standard Deviation の間には少なくとも全体の約 75%のデータがある。

それを元に計算すると、約 75%のマンション家賃の上のハードルは

15 万円+2*1.5 万円＝ 18 万円

下のハードルは

15 万円-2*1.5 万円＝ 12 万円

つまり、少なくとも約 75%の単身者向け賃貸マンションの家賃は 12 万円ー 18 万円間であるということがわかりました。家賃の相場が 12 万から 18 万といっても良いでしょう。もし、約 89％の家賃相場となると範囲は広がります。

15 万+3*1.5 万円=19.5 万円

15 万-3*1.5 万円=10.5 万円

少なくとも約 89%の単身者向け賃貸マンションの家賃は 10.5 万円から 19.5 万円の間にあると言えます。

chebyshev'theorem

この Chebyshev’s Theorem の便利なところはどのような形の Distribution でも当てはまるところです。

Distribution の形の項目で紹介した代表的な形以外にも上記にあるような凸凹したいびつな山が２つあるような形にでも当てはまります。ただし、形がゆがんだり偏ったりしているほど Standard Deviation が大きくなるために必然的に特定する範囲は広くなってしまいます。